问：
如何证明多元函数可微
答：
要证明一个多元函数可微,需要满足以下条件:
1. 存在偏导数:函数的偏导数在定义域中的每个点上都存在。这可以通过求取极限的方式来证明。具体地,要证明:
f_x(x,y) = lim_(h->0) [f(x+h,y) - f(x,y)]/h
f_y(x,y) = lim_(k->0) [f(x,y+k) - f(x,y)]/k
上述极限存在且有确定的值,则函数的偏导数存在。
2. 满足可微条件:如果函数的所有二阶偏导数都存在且连续,则函数可微。这需要证明:
f_xx(x,y) = lim_(h->0) [f_x(x+h,y) - f_x(x,y)]/h (二阶偏导数f_xx存在)
f_xy(x,y) = lim_(h->0) [f_x(x+h,y+k) - f_x(x,y)]/k (二阶偏导数f_xy存在)
f_yy(x,y) = lim_(k->0) [f_y(x+h,y+k) - f_y(x,y)]/h (二阶偏导数f_yy存在)
以上三个二阶偏导数的极限存在且连续,则函数满足可微条件。
3. 满足链式法则:对于函数f(x,y),其偏导数应满足:
f_x(x,y) = df/dx
f_y(x,y) = df/dy
f_xx(x,y) = d^2f/dx^2
f_xy(x,y) = f_yx(x,y) = d^2f/dxdy
f_yy(x,y) = d^2f/dy^2
若函数满足以上三个条件,则该函数在定义域内的每个点上都可微。这就是证明多元函数可微的详尽步骤。