什么样的二重积分为0，为什么？

二重积分为0的情况有以下几种:

1. 被积函数在积分区间内恒为0。这种情况下,无论积分区间如何选取,积分值都为0。这是因为0乘以任何非0函数的积分结果都为0。

2. 被积函数在积分区间内恒等于某个常数。因为积分运算符对常数的参数没有作用,所以积分结果为常数乘积。如果常数为0,则积分结果为0。

3. 积分上限等于积分下限。在这种情况下,被积函数在积分区间变化幅度为0,所以积分结果为0。

4. 被积函数为奇函数,积分区间包含原点。奇函数在对称区间内的积分和为0,所以只要积分区间包含原点,积分结果为0。

5. 被积函数在积分区间内对称分布在x轴两侧,且绝对值相等。这种情况下,积分区间两部分积分的绝对值相等但符号相反,所以积分结果相加为0。

所以,总结起来,二重积分为0的主要原因有:

1) 被积函数在积分区间为0;

2) 被积函数在积分区间为常数,且常数为0;

3) 积分上限等于积分下限;

4) 被积函数为奇函数,积分区间包含原点;

5) 被积函数在积分区间内对称且绝对值相等。

只要符合以上条件之一,一个二重积分就会等于0。理解了这几条原理,我们就可以对许多二重积分求值问题进行正确的判断和推理。