如何计算二重积分?

二重积分又称为重定积分,是定积分的推广,用于解决一些定积分难以解决或无法解决的问题。计算二重积分常用的方法有:

1. 将 integrand 分解为两个函数,每个函数包含一个变量,分别对两个变量进行定积分。例如:

   ∫∫xydxdy = ∫xf(y)dy ∫g(x)dx

2. 将 integrand 看作是二个变量的函数,直接对两个变量定积分。例如:

   ∫∫f(x,y)dxdy

3. 将 integrand 转化为一个变量的函数,另一个变量固定,然后对该变量积分,最后再让固定变量变化积分。例如:

   ∫∫f(x,y)dxdy = ∫[∫f(x,y1)dx]dy1 (y1为固定变量)

4. 如果 integrand 可以分解为一个变量的函数与不含该变量的因子的乘积,可以先对不含该变量的因子积分,再对包含变量的函数积分。例如:

   ∫∫5xydxdy = 5∫∫ydxdy ∫xdx = 5y2∫xdx

5. 如果 integrand 是某变量函数的总差分,可以先求差分dy的积分∫dy,再代入总差分积分。例如:

   ∫∫(f(x+dy)-f(x))dxdy = ∫dy∫(f(x+dy)-f(x))dx

6. 利用微积分知识,如果 integrand 是一个变量的函数在某方向上的微分或全微分,可以先求出原函数,再对原函数进行积分。

综上,计算二重积分主要是通过变数分离、微积分知识、积分次序变换等方法,将二重积分转化为重复一重积分或更简单的形式,进而求解。理解每种情况下的转换方法和思路是掌握二重积分计算的关键。