求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结如下:

1. 直接代入法:将函数中变量的值代入极限点,得到极限值。如:lim_(x→2)(x^2-4)/ (x-2) = (2^2-4)/(2-2) = 4/0,故极限不存在。

2. 因式分解法:将函数分解为相乘的几个因子,分别求这些因子在极限点的极限。如:lim_(x→0)(x^2-9)/(x-3) = (x+3)(x-3)/ (x-3) = x+3,故极限为3。

3. 化整为零法:将函数分子和分母同时减去或加上一个量,使得在极限点取值为零,然后再求极限。如:lim_(x→2)(x^2-4)/ (x-2) = (x^2-4-4) / (x-2-2) = (x^2-8)/(x-4),极限不存在。 

4. 除去因子法:如果函数的分子和分母同时含有相同的因子,可以将该因子同时除去。如:lim_(x→0) (x^2-9)/(x-3) = (x+3) /1 = 3。

5. 公因子提取法:如果分子和分母中有公共因子,提取出公因子。如:lim_(x→0) (x^2-9x)/(x-3) = x(x-9)/(x-3) = x。

6. 等效无穷小比较:比较函数中无穷小项的大小,得出结论。如:lim_(x→0) x^2/x = ∞/0,故极限不存在。

7. 夹逼定理:如果由两个函数f1(x)和f2(x)夹逼f(x),当x趋向于极限点时,f1(x)和f2(x)的极限相等,则f(x)的极限也等于这个极限。

8. 代换法:通过变换映射,将极限点映射到更容易判断的点。如:lim_(x→0) (sinx)/x = lim_(x→0)(sin(1/x))/(1/x) = 1。 

9. 事后验证法:猜测极限值,然后通过代入原函数验证是否正确。如: lim_(x→0) (sin5x)/x = 0。

10. enery性质:如连续性、单调性等,判断极限存在与否。

11. 对称性:利用函数的点对称性、轴对称性判断极限。如:lim_(x→0) |x|/x = 1。

12. 定理:利用相关定理,如夹逼定理、加法定理、乘法定理等判断极限。

例题:lim_(x→0) (sin5x)/x = 0。解:由sinx/x = 1,可知当x很小时,sinx≈x,所以(sin5x)/x ≈ 5x/x = 5,但若直接代入0会得不出结论,用事后验证法,猜测极限为0,代入原函数可得(sin50)/0 = 0,所以极限为0。