怎么判断函数奇偶性

判断一个函数的奇偶性,可以从以下几个方面来考察:

1. 函数表达式:直接观察函数表达式,如果只包含偶数次方的变量且无其他奇数项,则该函数为偶函数;如果含有奇数次方的变量或奇数项,则该函数为奇函数。例如f(x)=2x2+3x+1为奇函数,g(x)=2x2+4为偶函数。

2. 函数图象:绘制函数的图象,如果图象对称轴平行于y轴或原点,则该函数为偶函数;如果图象没有明显的对称轴,则为奇函数。例如sinx和cosx的图象奇偶性很明显。

3. 值域:检验函数取值范围,如果在函数间隔上取任意两点x1和x2,且f(x1)=-f(x2),则该函数为偶函数;否则为奇函数。例如f(x)=3x2-2在间隔[-2,2]上取-1和1,有f(-1)=-f(1),所以f(x)为偶函数。

4. 变换:观察经函数变换后的结果,如果原函数为偶函数,则经过相应的变换(如平移、放缩等)后的函数仍为偶函数;反之,如果原函数为奇函数,则变换后仍为奇函数。例如f(x)=2x2经过平移f(x-1)=2(x-1)2后,仍为偶函数。 

5. 相差奇偶性:如果函数f(x)与g(x)之间仅相差一个常数,那么它们的奇偶性相同;如果相差一个线性函数kx+b,那么当k为偶数时它们的奇偶性相同,当k为奇数时它们的奇偶性相反。利用这个结论也能分析判断某函数的奇偶性。

综上,判断一个函数的奇偶性,关键是从表达式、图象、间隔值对比以及变换等多个角度进行综合分析,利用各种推理和结论进行辅助判断。熟练掌握了这些方法,就可以准确判断函数的奇偶属性。