如何求曲率？

曲率是表征曲线弯曲程度的一个参数,它等于曲线上任意一点的切线与曲线的夹角的微分。求曲率的一般步骤如下:

1. 找到曲线方程。曲线的方程需含有两个变量,如x和y。方程中x和y及其微分函数都应是已知的。

2. 计算曲线切线的斜率。切线的斜率等于曲线方程中的x和y对变量求偏导数,即k=dy/dx。

3. 计算切线斜率的变化率。斜率k的变化率等于dy/dx的变化率,即dk/dt=d2y/dx2。

4. 求取曲率。曲率k等于斜率变化率的绝对值,即k=|dk/dt|=|d2y/dx2|。

5. 给出曲率的符号性。如果d2y/dx2>0,表示曲线在该点凸出,曲率为正;如果d2y/dx2<0,表示曲线在该点凹入,曲率为负。

6. 表示曲率。曲率k的单位是1/m,也就是m-1。曲率越大,表示曲线在该点的弯曲程度越大。

举例来说,已知曲线方程为y=x3,要求曲线在点(2,8)处的曲率。

1. 曲线方程:y=x3

2. dx/dy=3x2,在点(2,8)处,dx/dy=3(2)2=12

3. d2y/dx2=6x,在点(2,8)处,d2y/dx2=6(2)=12

4. 曲率k=|d2y/dx2|=|12|=12

5. 因为d2y/dx2>0,所以曲率为正。

6. 曲率的单位是1/m,表示为12 m-1

所以,曲线y=x3在点(2,8)处的曲率为12 m-1。