如何利用极坐标求二重积分?

使用极坐标求二重积分的方法如下:

1. 将原坐标系中的二重积分 ∫∫f(x,y)da 转化为极坐标系下的积分 ∫∫f(r,θ)rdrdθ. 其中:

- r 为极径,范围为 [0,∞)

- θ 为极角,范围为 [0,2π)

- rdrdθ 是面元,用于代替笛卡尔坐标系下的 dx dy

2. 确定极径r和极角θ与笛卡尔坐标x和y之间的转换关系:

x = r cosθ 

y = r sinθ

计算极径r的区间,通常为一个有界区域,极角θ的区间始终是[0,2π)

3. 将原函数f(x,y)中的x和y用r和θ来代替,得到极坐标形式下的f(r,θ)

4. 最后,在极坐标系下进行二重积分计算:

∫∫f(x,y)da = ∫∫f(r,θ)rdrdθ 

5. 步骤总结:

(1) 将原坐标系中的二重积分 ∫∫f(x,y)da 转化为极坐标系下的积分 ∫∫f(r,θ)rdrdθ

(2) 确定极径r和极角θ与x和y的转换关系

(3) 将f(x,y)中的x和y替换为r和θ,得到f(r,θ) 

(4) 在极坐标系下进行二重积分计算

利用极坐标来计算二重积分的好处是,可以将复杂的积域简化为简单的形状,且极坐标系中的面元与面积大小成比例,更容易计算,这在求解某些区域的定积分时会更加方便。

举例:求∫∫D(x^2+y^2≤1)e^(x+y)dxdy

设r=√(x^2+y^2), θ=arctan(y/x), 则原函数变为f(r,θ)=e^(r cosθ + r sinθ)=e^r, 积分区间为r∈[0,1],θ∈[0,2π]

∫∫f(x,y)dxdy = ∫01re^rdθrdθ = π