请问n阶可逆矩阵的特征值有多少？

n阶可逆矩阵的特征值有n个。

特征值与矩阵的阶数n直接相关。可逆矩阵有n个线性无关的特征向量,每个特征向量对应一个特征值。根据矩阵的特征多项式公式:

det(λI-A)=λ^n + a1λ^{n-1} + a2λ^{n-2} + ... + (-1)^n a_n

其中A为n阶矩阵,λ为特征值,I为单位矩阵。

对于可逆矩阵,det(A)≠0,所以特征多项式为n次方程,根据代数基本定理,n次一元方程有 n 个解,即n个特征值。

另外,根据特征值与特征向量的定义, 可逆矩阵的每个特征向量都是矩阵A的某一向量,而可逆矩阵有n个线性无关的向量,所以有n个特征向量,每个特征向量对应一个特征值。

所以,总结如下:

1. 可逆矩阵的特征多项式为n次方程,根据代数基本定理,有n个解,即n个特征值。

2. 可逆矩阵有n个线性无关的特征向量,每个特征向量对应一个特征值。

3. 可逆矩阵的特征值个数等于其阶数n。

示例:

2阶可逆矩阵: 特征多项式为二次方程,有2个特征值。有2个线性无关的特征向量,每个特征向量对应一个特征值。所以2阶可逆矩阵有2个特征值。

3阶可逆矩阵: 特征多项式为三次方程,有3个特征值。有3个线性无关的特征向量,每个特征向量对应一个特征值。所以3阶可逆矩阵有3个特征值。

以此类推,n阶可逆矩阵有n个特征值。

综上,n阶可逆矩阵有n个特征值。特征值的个数等于矩阵的阶数。