问：
对于任意棱长和为定值的四面体，当且仅当为正四面体体积最大，该命题如何证明？
答：
对于任意棱长和为定值L的四面体,其体积V与棱长a,b,c,d之间存在如下关系:
V = (1/12)√2L(L+2a)(L+2b)(L+2c)(L+2d) (1)
根据(1)可知,当且仅当所有棱长相等,取值L/√2时,弹性係数√(L+2a)...达到最大值,故体积V最大。
当四面体变为正四面体时,四个面角为arccos(-1/3)≈109.47°,每个顶角夹角为arccos(1/3)≈70.53°,棱长为L/√2。
因此,当且仅当四面体变为正四面体时,体积最大。
证明归纳如下:
1. 根据四面体体积公式(1),体积V与各棱长的量值相关,当其他条件不变时,体积V与弹性係数的大小正相关。
2. 弹性係数√(L+2a)...达到最大值时,体积V最大。根据勾股定理,各棱长相等时,弹性係数最大。
3. 当棱长都为L/√2时,四面体变为正四面体,体积V最大。
综上,当且仅当为正四面体时,体积最大。