如何用对称性或奇偶性计算二重积分

计算二重积分时,可以利用函数的对称性或奇偶性大大简化计算。具体做法如下:

1. 检查积分区域对称性。检查积分上下限和积分区间是否对称。如果是对称的,可以只计算一半区间上的积分值,然后再乘以2。

2. 检查函数对称性。检查积分函数f(x,y)是否对x轴或y轴对称。如果是对称的,可以利用1中对称性大大简化计算。

3. 检查奇偶性。检查f(x,y)关于x轴和y轴是否具有奇偶性。如果是奇函数,在对称区域的积分值为0;如果是偶函数,仅需要计算一半区间即可。

4. 划分积分区间。根据1-3,可合理划分积分区间,只计算关键区域的积分值。

5. 积分值相加。最后将所有积分区间的值相加,即为原二重积分的值。

举个例子,计算∫∫y2dxdy , 其中积分区域为[0,1]×[0,1]。

由于整个积分区域是对称的,f(x,y)关于y轴具有偶性。所以只需要计算:

∫01∫0x y2dydx = ∫01(1/3)x3dx = 1/12

然后再乘以2,最终结果为1/6。

综上,利用函数的对称性和奇偶性可以大幅度简化二重积分的计算过程。