二重积分的什么时候积分值为0？

对一个二重积分,其积分值为0的情况主要有以下几种:

1. 积分区域为空集。如果积分区域D为空集,即测度为0,那么无论被积函数f(x,y)如何,其二重积分都为0。

2. 被积函数在整个积分区域内恒等于0。如果f(x,y)在积分区域D内恒等于0,那么其二重积分值为0。

3. 被积函数在积分区域内可正可负但正负值相抵消。如果f(x,y)在积分区域D内既有正值区域也有负值区域,且这些正负值区域的面积乘以对应的函数值刚好抵消为0,那么积分也等于0。这通常发生在奇函数的积分中。

4. 积分区间可分割为有限个子区间,每一个子区间的积分值等于0。如果能够将积分区间划分为有限个子区间,每个子区间上的积分单独计算为0,那么整个区间的积分也等于0。

5. 积分区间不定积分在区间两端取值相等。如果f(x,y)在积分区间D上的不定积分在区间两端取值相等,那么其定积分就等于0。

6. 积分区间是闭合曲线,被积函数在曲线内外具有不同符号。如果D是封闭曲线,f在曲线内外取正负值相反,那么曲线围成区域上的积分为0。

所以,总结来说,使二重积分等于0的充要条件是:积分区域可细分为正负互抵的子区域,或者积分函数在积分区域全为0。