为什么二重积分等于0

二重积分等于 0 的情况主要有以下几种:

1. 积分区间是不相交的

如果二重积分的积分区间是不相交的,例如 ∫01 ∫23 f(x,y)dxdy,那么这个积分必定等于 0。因为两个区间之间没有公共部分,因此函数的值恒等于 0。

2. 被积函数在积分区间内恒等于 0

如果被积函数 f(x,y) 在整个积分区间内都等于 0,那么不管积分区间是什么,积分结果都将等于 0。

3. 被积函数在积分区间内某些部分大于0,某些部分小于0

如果被积函数 f(x,y) 在积分区间内某些部分大于0,某些部分小于0,并且正负部分 “相抵消”,使得总积分等于0。这种情况下,积分结果的总和为0。

4. 被积函数关于 x 和 y 对称,使积分相抵

如果被积函数关于x轴和y轴对称,例如奇函数或偶函数,那么积分区间关于轴的对称部分会抵消,最终积分等于0。

5. 积分区间为无限区间

当积分区间为无限区间时,被积函数需要满足发散性条件,使得正负发散部分抵消,导致积分收敛于0。

总之,二重积分等于0的最终原因是积分过程中正负部分相互抵消、相互打平,导致最终结果为0。必须满足这种“相抵消”的条件,积分结果才可能等于0。