limit of (sin3x) / (5x^3 - 4x) as x approaches 0

这个 limit 的计算过程如下:

1) 分子:sin3x

当x趋于0时,sin3x的值也趋于0。所以,limit (sin3x) = 0

2) 分母:5x^3 - 4x

当x趋于0时,5x^3 的值远大于4x,所以5x^3 主导项的性质。

因此,limit (5x^3 - 4x) = limit 5x^3 = 5*0^3 = 0

3) 根据 limit 的定义,当x趋于某个值时,函数的值趋于limit值。

因为分子和分母的limit值都是0,所以limit (sin3x) / (5x^3 - 4x)的值为:

limit (sin3x/(5x^3 - 4x)) = limit (0/0)

4) 0/0 的情况是未定的,需要采用求导法进行计算。

函数f(x) = sin3x / (5x^3 - 4x)

当x = 0时,函数f(x) 的导数为:

f'(x) = (3cos3x * 5x^2 - 4) / (5x^3 - 4x)^2

因此,当x = 0时,f'(0) = 3*0*5*0^2 - 4 / 5*0^3 - 4*0 = -4/0 = 无穷大

5) 根据导数的性质,如果函数f(x)在点x0的导数为无穷大,则 lim f(x) = +无穷大 或 -无穷大

综上,limit (sin3x) / (5x^3 - 4x) = +无穷大 或 -无穷大    (值不能唯一定)

所以,这个limit的值未定,表达为: limit (sin3x) / (5x^3 - 4x) = ±∞