已知x+y=1,xy/x+4y的最大值

这个问题涉及到函数的极值问题。我们知道,要找到一个函数的最大(小)值,通常需要对这个函数进行求导,并令导函数等于0,解得极值点,然后在这个点处求函数值和端点值比较,得出最大(小)值。

在这个问题中,我们要最大化的函数是:f(x,y)=xy/(x+4y)

首先,我们对x和y求导:

fx'=y/(x+4y)-4xy'/(x+4y)^2

fy'=-x/(x+4y)+4xy'/(x+4y)^2

为了方便,我们令:x+4y=t,那么x=t,y=1,将上式代入,有:

fx'=1/t-4(t-1)/t^2=5/t^2-4/t

fy'=-1/t+4(t-1)/t^2=3/t^2-4/t 

令fx'=fy'=0,解得:t=6或t=2

将t代回x+4y=1,得:当x=5,y=-3或x=-1,y=3时,函数可达最大值。

此时,在x=5,y=-3点,函数值为:f(5,-3)=(5)(-3)/8=-15/8

在x=-1,y=3点,函数值为:f(-1,3)=(-1)(3)7=21/7

所以,xy/x+4y的最大值为21/7。

结论:已知x+y=1,xy/x+4y的最大值为21/7。