蝴蝶定理用向量证明

蝴蝶定理可以用向量来证明,证明过程如下:

1. 给两个等边三角形ABC和A'B'C'作中线AA', BB'和CC',令AA'=a,BB'=b, CC'=c。

2. 由于ABC和A'B'C'是等边三角形,所以AA'=BB'=CC'=r(r为三角形外接圆的半径)

3. 连接A'B,B'C和C'A,在△ABC和△A'B'C'的外接圆上取一点P,从P作抛物线PA' ,PB'和PC'。

4. 由向量的性质可知:PA’=r(cosA,sinA),PB’=r(cosB,sinB),PC’=r(cosC,sinC)

5. 又因为△ABC和△A’B’C’为等边三角形,所以A=B=C=60°。代入上式得:

PA’=r(1/2,√3/2),PB’=r(1/2,-√3/2),PC’=r(-1,0)

6. 由于P在两三角形的外接圆上,所以PA=PA',PB=PB',PC=PC'。由此可得:   

PA=r(1/2,√3/2),PB=r(1/2,-√3/2),PC=r(-1,0)

7. 联立三条向量方程解得:P(0,-r)。由于P在外接圆上,所以 |PQ|=r,所以PQ⊥AB。

8. 由此可知,凡是在两个等边三角形外接圆上且与其中一条边垂直的点P,与另外两条边的连线PQ的中点为三角形的重心。

9. 证毕。

以上就是利用向量证明蝴蝶定理的详细过程。蝴蝶定理描述的就是三角形重心的几何性质,它以简洁的幾何方式闡述重心的位置与性质,是三角形知识的典型例子。希望上述证明过程对您理解蝴蝶定理和向量有所帮助。如果仍有任何疑问,欢迎提出,我将尽量进行详细说明。