正定二次型怎么判断

判断一个二次型是否为正定二次型的方法有:

1. 检查二次型的系数。如果二次型的全部系数都为正数,则该二次型必定为正定二次型。例如:f(x) = 3x2 + 2xy + 5y2,其中所有系数都是正数,所以f(x)为正定二次型。

2. 检查二次型的主要次项系数。如果二次型的二次项系数a > 0,一次项系数c ≥ 0,常数项b > 0,则该二次型为正定二次型。例如:f(x) = 2x2 + 3xy + 5,满足a = 2 > 0,c = 3 ≥ 0,b = 5 > 0,所以f(x)为正定二次型。

3. 检查二次型的判别式。如果二次型f(x) = ax2 + 2bxy + cy2 的判别式D = b2 - 4ac > 0,则f(x)为正定二次型。例如:f(x) = 2x2 - 4xy + 5y2,其判别式D = (-4)2 - 4×2×5 = 16 > 0,所以f(x)为正定二次型。

4. 对二次型的关键点进行测试。将二次型代入(0,0)点,如果f(0,0) > 0,则该二次型可能为正定二次型;再测试二次型在x轴和y轴上的两个点,如果f(x,0), f(0,y)都 > 0,则该二次型必定为正定二次型。例如:f(x) = 3x2 + 2xy - 4y2, f(0,0) = 3×02 - 4×02 = 12 > 0,f(1,0) = 3×12 + 2×1×0 - 4×02 = 3 > 0,f(0,1) = 3×02 + 2×0×1 - 4×12 = -2 < 0,所以f(x)不是正定二次型。

5. 利用矩阵的性质判断。设二次型 f(x) = ax2 + 2bxy + cy2,若矩阵A = [[a, b], [b, c]]为正定矩阵,则f(x)必定为正定二次型。利用线性代数中对正定矩阵判定的方法即可判断。

以上就是判断一个二次型是否为正定二次型的主要方法,利用系数、判别式以及矩阵的性质等进行判断。只要其中一个方法判断为正定二次型,则该二次型必定为正定二次型。